Obsahová náplň štátnicového predmetu

I. Číselné množiny

Matematický nadhľad – Číselné obory ako algebrické štruktúry (napr. pole, okruh, grupa, ...) a vzťahy medzi nimi.

Didaktický nadhľad – zásady pri rozširovaní číselných množín.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Operácie s desatinnými číslami - vhodný model a algoritmus.

• Operácie so zlomkami - vhodné modely.

• Operácie s celými číslami - vhodné modely.

Propedeutika pojmu iracionálne číslo vo vyučovaní matematiky na ZŠ.

II. Množiny a výroky

Matematický nadhľad – Princíp porovnávania mohutnosti nekonečných množín – vysvetliť na konkrétnych príkladoch číselných množín; definície, matematické vety a ich dôkazy, typy matematických dôkazov (vysvetliť pri dokazovaní konkrétnych matematických viet).

Didaktický nadhľad – vyučovanie matematických dôkazov (konkrétny príklad dôkazu v školskej matematike – rôzne úrovne argumentácie).

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Operácie s množinami - možnosti vizualizácie (uviesť konkrétne príklady množín a operácií s nimi).

• Kvantifikované výroky. Zložené výroky - reprezentácia pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt, negácia zložených a kvantifikovaných výrokov (vysvetliť na konkrétnych príkladoch)

• Rôzne prístupy k dôkazu Pytagorovej vety na základnej škole.

• Rôzne prístupy k dôkazom vybraných tvrdení o deliteľnosti na strednej škole (dôkaz priamo, nepriamo, sporom a matematickou indukciou).

III. Teória čísel

Matematický nadhľad – Rôzne číselné sústavy, rozvinutý zápis čísla v rôznych číselných sústavách; základná veta aritmetiky - formulácia tvrdenia, myšlienka dôkazu, počet deliteľov celého čísla.

Didaktický nadhľad – vyučovanie kritérií deliteľnosti (logická analýza učiva na základnej a strednej škole).

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Dôkazy základných kritérií deliteľnosti, využitie kritérií deliteľnosti prirodzených čísel pri riešení slovných úloh.

• Porovnanie algoritmov na zisťovanie, či je číslo prvočíslo alebo zložené číslo na ZŠ a SŠ, Eratostenovo sito.

• Rôzne algoritmy na hľadanie NSD a nsn (vrátane Euklidovho algoritmu), využitie NSD a nsn pri riešení slovných úloh.

IV. Mocniny, mnohočleny, lomené výrazy

Matematický nadhľad – Základná veta algebry; rozklad na ireducibilné činitele, korene polynómov nad R a C – porovnanie; mocniny s reálnym exponentom.

Didaktický nadhľad – písmeno (neznáma, premenná) v školskej matematike (na konkrétnych príkladoch vysvetliť rôzne úrovne porozumenia písmena v školskej matematike).

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Operácie s mnohočlenmi - úlohy na upevňovanie učiva.

• Geometrická interpretácia komutatívneho, asociatívneho a distributívneho zákona a vzorcov (a+b)^2, (a-b)^2, a^2-b^2.

• Operácie s mocninami - úlohy na upevňovanie učiva.

V. Rovnice a nerovnice

Matematický nadhľad – Vlastnosti absolútnej hodnoty, dôkaz trojuholníkovej nerovnosti. Gaussova eliminačná metóda.

Didaktický nadhľad – na konkrétnom príklade slovnej úlohy vedúcej k riešeniu rovníc vysvetliť fázy riešenia slovnej úlohy a niektoré stratégie riešenia slovných úloh.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Ekvivalentné úpravy lineárnych rovníc, počet riešení lineárnej rovnice.

• Metódy riešenia rovníc a nerovníc s absolútnou hodnotou.

• Metódy riešenia kvadratických rovníc a nerovníc.

• Metódy riešenia iracionálnych rovníc a nerovníc.

• Metódy riešenia exponenciálnych a logaritmických rovníc a nerovníc.

• Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc.

VI. Planimetria

Matematický nadhľad – Skladanie zhodných zobrazení, grupa zhodností v rovine. Skladanie podobných zobrazení, grupa podobností v rovine. Aplikácia určitého integrálu - obsah kruhu a dĺžka kružnice.

Didaktický nadhľad – etapy riešenia konštrukčnej úlohy. Typy konštrukčných úloh.

Konkrétna téma v školskej matematike

• Súčet vnútorných uhlov v konvexnom mnohouholníku. Veľkosť vnútorného uhla v pravidelnom n-uholníku. Základné prvky niektorých mnohouholníkov (výška a ťažnica trojuholníka, uhlopriečka).

• Pojmy obsah a obvod v školskej matematike. Odvodenie vzorcov pre obsah základných útvarov (obdĺžnik, trojuholník, rovnobežník, lichobežník, kruh).

• Vety o zhodnosti a podobnosti trojuholníkov - využitie pri riešení úloh zo školskej matematiky.

• Využitie Euklidových viet pri riešení úloh. Dôkaz Euklidových viet.

• Využitie množín danej vlastnosti pri riešení konštrukčných úloh. Veta o obvodovom a stredovom uhle. Konštrukcia množiny všetkých bodov v rovine, z ktorých vidno danú úsečku AB pod daným uhlom alfa.

• Využitie zhodných a podobných zobrazení pri riešení konštrukčných úloh.

VII. Stereometria

Matematický nadhľad – Vzájomná poloha podpriestorov afinného priestoru (analytická metóda). Odchýlka podpriestorov afinného priestoru (analytická metóda). Vzdialenosť bodu od nadroviny (analytická metóda). Aplikácie určitého integrálu - objem rotačného telesa.

Didaktický nadhľad – Van Hieleho model rozvoja geometrického myslenia - vysvetlenie na konkrétnom pojme zo stereometrie.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Veta o rovnobežnosti dvoch rovín - prípravné úlohy.

• Vzájomná poloha troch rovín - využitie pri zostrojovaní rezov.

• Vzdialenosť dvoch priamok v priestore (synteticky) - úlohy na upevňovanie učiva.

• Objem a povrch hranola – prípravné úlohy a úlohy na aplikáciu učiva.

VIII. Analytická geometria

Matematický nadhľad – Parametrické vyjadrenie podpriestoru afinného priestoru. Všeobecná rovnica nadroviny.

Didaktický nadhľad – súradnicová a vektorová metóda pri riešení úloh. Predstavy pojmu vektor.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Stredová rovnica kružnice a elipsy - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.

• Parametrické vyjadrenie priamky, polpriamky a úsečky - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.

• Všeobecná rovnica priamky a roviny - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.

IX. Elementárne funkcie, základné vlastnosti

Matematický nadhľad – Derivácia funkcie, neurčitý integrál, určitý integrál - definície. Vyšetrovanie priebehu funkcie s využitím diferenciálneho počtu.

Didaktický nadhľad – rozvíjanie funkčného myslenia. Predstavy o pojme funkcia. Definícia funkcie v školskej matematike.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Lineárna, lineárna lomená, kvadratická, mocninová funkcia – definície. Rôzne reprezentácie funkcií a vzájomné prepojenia medzi nimi.

• Exponenciálna a logaritmická funkcie – definície. Inverzná funkcia k danej funkcii - prípravné úlohy.

• Monotónna funkcia, prostá funkcia, ohraničená funkcia, maximum, minimum funkcie na množine, periodická funkcia – definície, prípravné úlohy.

X. Goniometria

Matematický nadhľad – Myšlienka aproximácie funkcií sínus a kosínus pomocou Taylorovho rozvoja. Sínusová a kosínusová veta – analytický dôkaz.

Didaktický nadhľad – postup pri zavedení goniometrických funkcií.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Funkcie sínus a kosínus uhla v pravouhlom trojuholníku - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.

• Riešenie trojuholníka pomocou sínusovej a kosínusovej vety - úlohy na upevňovanie učiva.

• Metódy riešenia goniometrických rovníc.

XI. Postupnosti a rady

Matematický nadhľad – Limita postupnosti, limita funkcie, vzťah limity funkcie k spojitosti.

Didaktický nadhľad – aritmetická a geometrická postupnosť a ich využitie v slovných úlohách.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Aritmetická postupnosť - úlohy na osvojenie pojmu.

• Geometrická postupnosť - úlohy na aplikáciu učiva.

• Nekonečný geometrický rad - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.

XII. Kombinatorika

Matematický nadhľad – Dirichletov princíp, princíp inklúzie a exklúzie (uviesť konkrétne úlohy a ich riešenie). Niektoré pojmy teórie grafov (graf, stromový graf, bipartitný graf, eulerovský graf).

Didaktický nadhľad – rozvíjanie kombinatorického myslenia.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Štyri typovo rôzne úlohy z kombinatoriky a ich riešenia pomocou výpisu možností.

• Súvis binomickej vety s Pascalovým trojuholníkom a vlastnosťami kombinačných čísel.

XIII. Pravdepodobnosť a štatistika

Matematický nadhľad – Podmienená pravdepodobnosť, Bayesova formula. Normálne rozdelenie pravdepodobnosti.

Didaktický nadhľad – miskoncepcie pri vyučovaní pravdepodobnosti. Štatistický a klasický prístup vo vyučovaní pravdepodobnosti.

Konkrétna téma v školskej matematike:

• Klasická definícia pravdepodobnosti, vlastnosti pravdepodobnosti - vstupné vedomosti, prípravné úlohy.

• Vizualizácia vo vyučovaní pravdepodobnosti –(konkrétna úloha riešená s využitím stromového grafu, resp. tangramu a pod.)

• Modus, medián, aritmetický priemer, rozptyl, odchýlka - úlohy na upevňovanie učiva.