Odporúčaná literatúra je stanovená individuálne v súlade s témou diplomovej práce.
Diplomová práca je výsledkom vlastnej tvorivej práce študenta. Nesmie vykazovať prvky akademického podvodu a musí spĺňať kritériá správnej výskumnej praxe definované v Rozhodnutí rektora č. 21/2021, ktorým sa stanovujú pravidlá posudzovania plagiátorstva na Univerzite Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach a jej súčastiach. Plnenie kritérií sa overuje najmä v procese školenia a v procese obhajoby práce. Ich nedodržanie je dôvodom na začatie disciplinárneho konania.
slovenský
1. Vypracovanie diplomovej práce v súlade s pokynmi školiteľa.
2. Prezentácia výsledkov diplomovej práce pred skúšobnou komisiou.
3. Zodpovedanie otázok súvisiacich s témou diplomovej práce v rámci diskusie.
Diplomovou prácou študent preukáže zvládnutie rozšírenej teórie a odbornej terminológie študijného odboru, nadobudnutie vedomostí, zručností a kompetentností v súlade s deklarovaným profilom absolventa študijného programu, ako aj schopnosť aplikovať ich originálnym spôsobom pri riešení vybraného problému študijného odboru. Študent preukáže schopnosť samostatnej odbornej práce z obsahového, formálneho a etického hľadiska. Ďalšie podrobnosti diplomovej práce určuje Smernica č. 1 /2011 o základných náležitostiach záverečných prác a Študijný poriadok UPJŠ v Košiciach.
Informačné zdroje odporúčané v rámci jednotlivých profilových predmetov.
I. Číselné množiny
Matematický nadhľad – Číselné obory ako algebrické štruktúry (napr. pole, okruh, grupa, ...) a vzťahy medzi nimi.
Didaktický nadhľad – zásady pri rozširovaní číselných množín.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Operácie s desatinnými číslami - vhodný model a algoritmus.
• Operácie so zlomkami - vhodné modely.
• Operácie s celými číslami - vhodné modely.
Propedeutika pojmu iracionálne číslo vo vyučovaní matematiky na ZŠ.
II. Množiny a výroky
Matematický nadhľad – Princíp porovnávania mohutnosti nekonečných množín – vysvetliť na konkrétnych príkladoch číselných množín; definície, matematické vety a ich dôkazy, typy matematických dôkazov (vysvetliť pri dokazovaní konkrétnych matematických viet).
Didaktický nadhľad – vyučovanie matematických dôkazov (konkrétny príklad dôkazu v školskej matematike – rôzne úrovne argumentácie).
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Operácie s množinami - možnosti vizualizácie (uviesť konkrétne príklady množín a operácií s nimi).
• Kvantifikované výroky. Zložené výroky - reprezentácia pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt, negácia zložených a kvantifikovaných výrokov (vysvetliť na konkrétnych príkladoch)
• Rôzne prístupy k dôkazu Pytagorovej vety na základnej škole.
• Rôzne prístupy k dôkazom vybraných tvrdení o deliteľnosti na strednej škole (dôkaz priamo, nepriamo, sporom a matematickou indukciou).
III. Teória čísel
Matematický nadhľad – Rôzne číselné sústavy, rozvinutý zápis čísla v rôznych číselných sústavách; základná veta aritmetiky - formulácia tvrdenia, myšlienka dôkazu, počet deliteľov celého čísla.
Didaktický nadhľad – vyučovanie kritérií deliteľnosti (logická analýza učiva na základnej a strednej škole).
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Dôkazy základných kritérií deliteľnosti, využitie kritérií deliteľnosti prirodzených čísel pri riešení slovných úloh.
• Porovnanie algoritmov na zisťovanie, či je číslo prvočíslo alebo zložené číslo na ZŠ a SŠ, Eratostenovo sito.
• Rôzne algoritmy na hľadanie NSD a nsn (vrátane Euklidovho algoritmu), využitie NSD a nsn pri riešení slovných úloh.
IV. Mocniny, mnohočleny, lomené výrazy
Matematický nadhľad – Základná veta algebry; rozklad na ireducibilné činitele, korene polynómov nad R a C – porovnanie; mocniny s reálnym exponentom.
Didaktický nadhľad – písmeno (neznáma, premenná) v školskej matematike (na konkrétnych príkladoch vysvetliť rôzne úrovne porozumenia písmena v školskej matematike).
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Operácie s mnohočlenmi - úlohy na upevňovanie učiva.
• Geometrická interpretácia komutatívneho, asociatívneho a distributívneho zákona a vzorcov (a+b)^2, (a-b)^2, a^2-b^2.
• Operácie s mocninami - úlohy na upevňovanie učiva.
V. Rovnice a nerovnice
Matematický nadhľad – Vlastnosti absolútnej hodnoty, dôkaz trojuholníkovej nerovnosti. Gaussova eliminačná metóda.
Didaktický nadhľad – na konkrétnom príklade slovnej úlohy vedúcej k riešeniu rovníc vysvetliť fázy riešenia slovnej úlohy a niektoré stratégie riešenia slovných úloh.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Ekvivalentné úpravy lineárnych rovníc, počet riešení lineárnej rovnice.
• Metódy riešenia rovníc a nerovníc s absolútnou hodnotou.
• Metódy riešenia kvadratických rovníc a nerovníc.
• Metódy riešenia iracionálnych rovníc a nerovníc.
• Metódy riešenia exponenciálnych a logaritmických rovníc a nerovníc.
• Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc.
VI. Planimetria
Matematický nadhľad – Skladanie zhodných zobrazení, grupa zhodností v rovine. Skladanie podobných zobrazení, grupa podobností v rovine. Aplikácia určitého integrálu - obsah kruhu a dĺžka kružnice.
Didaktický nadhľad – etapy riešenia konštrukčnej úlohy. Typy konštrukčných úloh.
Konkrétna téma v školskej matematike
• Súčet vnútorných uhlov v konvexnom mnohouholníku. Veľkosť vnútorného uhla v pravidelnom n-uholníku. Základné prvky niektorých mnohouholníkov (výška a ťažnica trojuholníka, uhlopriečka).
• Pojmy obsah a obvod v školskej matematike. Odvodenie vzorcov pre obsah základných útvarov (obdĺžnik, trojuholník, rovnobežník, lichobežník, kruh).
• Vety o zhodnosti a podobnosti trojuholníkov - využitie pri riešení úloh zo školskej matematiky.
• Využitie Euklidových viet pri riešení úloh. Dôkaz Euklidových viet.
• Využitie množín danej vlastnosti pri riešení konštrukčných úloh. Veta o obvodovom a stredovom uhle. Konštrukcia množiny všetkých bodov v rovine, z ktorých vidno danú úsečku AB pod daným uhlom alfa.
• Využitie zhodných a podobných zobrazení pri riešení konštrukčných úloh.
VII. Stereometria
Matematický nadhľad – Vzájomná poloha podpriestorov afinného priestoru (analytická metóda). Odchýlka podpriestorov afinného priestoru (analytická metóda). Vzdialenosť bodu od nadroviny (analytická metóda). Aplikácie určitého integrálu - objem rotačného telesa.
Didaktický nadhľad – Van Hieleho model rozvoja geometrického myslenia - vysvetlenie na konkrétnom pojme zo stereometrie.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Veta o rovnobežnosti dvoch rovín - prípravné úlohy.
• Vzájomná poloha troch rovín - využitie pri zostrojovaní rezov.
• Vzdialenosť dvoch priamok v priestore (synteticky) - úlohy na upevňovanie učiva.
• Objem a povrch hranola – prípravné úlohy a úlohy na aplikáciu učiva.
VIII. Analytická geometria
Matematický nadhľad – Parametrické vyjadrenie podpriestoru afinného priestoru. Všeobecná rovnica nadroviny.
Didaktický nadhľad – súradnicová a vektorová metóda pri riešení úloh. Predstavy pojmu vektor.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Stredová rovnica kružnice a elipsy - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.
• Parametrické vyjadrenie priamky, polpriamky a úsečky - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.
• Všeobecná rovnica priamky a roviny - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.
IX. Elementárne funkcie, základné vlastnosti
Matematický nadhľad – Derivácia funkcie, neurčitý integrál, určitý integrál - definície. Vyšetrovanie priebehu funkcie s využitím diferenciálneho počtu.
Didaktický nadhľad – rozvíjanie funkčného myslenia. Predstavy o pojme funkcia. Definícia funkcie v školskej matematike.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Lineárna, lineárna lomená, kvadratická, mocninová funkcia – definície. Rôzne reprezentácie funkcií a vzájomné prepojenia medzi nimi.
• Exponenciálna a logaritmická funkcie – definície. Inverzná funkcia k danej funkcii - prípravné úlohy.
• Monotónna funkcia, prostá funkcia, ohraničená funkcia, maximum, minimum funkcie na množine, periodická funkcia – definície, prípravné úlohy.
X. Goniometria
Matematický nadhľad – Myšlienka aproximácie funkcií sínus a kosínus pomocou Taylorovho rozvoja. Sínusová a kosínusová veta – analytický dôkaz.
Didaktický nadhľad – postup pri zavedení goniometrických funkcií.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Funkcie sínus a kosínus uhla v pravouhlom trojuholníku - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.
• Riešenie trojuholníka pomocou sínusovej a kosínusovej vety - úlohy na upevňovanie učiva.
• Metódy riešenia goniometrických rovníc.
XI. Postupnosti a rady
Matematický nadhľad – Limita postupnosti, limita funkcie, vzťah limity funkcie k spojitosti.
Didaktický nadhľad – aritmetická a geometrická postupnosť a ich využitie v slovných úlohách.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Aritmetická postupnosť - úlohy na osvojenie pojmu.
• Geometrická postupnosť - úlohy na aplikáciu učiva.
• Nekonečný geometrický rad - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.
XII. Kombinatorika
Matematický nadhľad – Dirichletov princíp, princíp inklúzie a exklúzie (uviesť konkrétne úlohy a ich riešenie). Niektoré pojmy teórie grafov (graf, stromový graf, bipartitný graf, eulerovský graf).
Didaktický nadhľad – rozvíjanie kombinatorického myslenia.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Štyri typovo rôzne úlohy z kombinatoriky a ich riešenia pomocou výpisu možností.
• Súvis binomickej vety s Pascalovým trojuholníkom a vlastnosťami kombinačných čísel.
XIII. Pravdepodobnosť a štatistika
Matematický nadhľad – Podmienená pravdepodobnosť, Bayesova formula. Normálne rozdelenie pravdepodobnosti.
Didaktický nadhľad – miskoncepcie pri vyučovaní pravdepodobnosti. Štatistický a klasický prístup vo vyučovaní pravdepodobnosti.
Konkrétna téma v školskej matematike:
• Klasická definícia pravdepodobnosti, vlastnosti pravdepodobnosti - vstupné vedomosti, prípravné úlohy.
• Vizualizácia vo vyučovaní pravdepodobnosti –(konkrétna úloha riešená s využitím stromového grafu, resp. tangramu a pod.)
• Modus, medián, aritmetický priemer, rozptyl, odchýlka - úlohy na upevňovanie učiva.
Náležité znalosti a kompetencie z profilových predmetov zamerania Učiteľstvo matematiky, preukázanie schopnosti syntetizovať získané poznatky a postupy a aplikovať ich na problémy súvisiace s vyučovaním matematiky.
slovenský
1. Číselné množiny
2. Množiny a výroky
3. Teória čísel
4. Mocniny, mnohočleny, lomené výrazy
5. Rovnice a nerovnice
6. Planimetria
7. Stereometria
8. Analytická geometria
9. Elementárne funkcie, základné vlastnosti
10. Goniometria
11. Postupnosti a rady
12. Kombinatorika
13. Pravdepodobnosť a štatistika
V rámci jednotlivých okruhov má študent preukázať:
• Prehľad o kľúčových matematických myšlienkach, ktoré sú nadstavbou stredoškolskej matematiky a porozumenie týmto myšlienkam.
• Poznanie dôležitých princípy, ktoré je nutné brať do úvahy pri vyučovaní daného okruhu.
• Schopnosť aplikovať poznanie v školskej matematike, napríklad aké typy úloh má žiak zvládnuť, aké sú ciele pri vyučovaní, ako sa buduje predstava základných pojmov a podobne.
Overenie získaných kompetencií študenta v súlade s profilom absolventa.